Função Módulo e Parábola

Noções básicas

3. i) Considere-se a função real de variável real
   
   
   conhecida por função módulo. Neste caso, o contradomínio CD_f é um subconjunto do conjunto de chegada , uma vez que o conjunto das imagens é constituído apenas pelos números reais não-negativos. Deste modo, a função módulo não é sobrejectiva.
   Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (-1,1), , , por exemplo.
   A sua representação gráfica encontra-se na Fig.5.
   
   

   Fig. 5. Gráfico da função módulo
   Observe que:
   1. f tem um único zero: x = 0;
   2. f é positiva em ;
   3. f nunca é negativa;
   4. quanto à monotonia, f é:
   
   • monótona decrescente no intervalo , pois neste intervalo se x₁ < x₂, então |x₁| > |x₂|
   • monótona crescente no intervalo , pois neste intervalo se x₁ < x₂, então |x₁| < |x₂|;
   5. f tem um mínimo absoluto com valor 0 em x = 0, uma vez que f(0)=0 e f(x) ≥ 0 para todo o x D_f;
   6. o contradomínio de f é ;
   7. f é uma função par pois |x| = |-x| para cada x (note que o gráfico é simétrico relativamente ao eixo vertical);
   8. f é uma função par logo não é injectiva (justifique esta implicação).
   
   ii) Considere-se a função real de variável real
   
   
   Trata-se de uma função quadrática (pode recordar propriedades das funções quadráticas no módulo Propriedades de algumas funções). A representação gráfica de g encontra-se na Fig. 6.
   
   

   Fig. 6. Gráfico da função g
   Observe que:
   1. g tem dois zeros: x = -1 e x = 1;
   2. g é positiva em ] – 1, 1[;
   3. g é negativa em e em ;
   4. g é monótona crescente no intervalo e monótona decrescente no intervalo ;
   5. g tem um máximo absoluto com valor 1 em x = 0;
   6. g tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio;
   7. o contradomínio de g é ;
   8. g é uma função par porque g(x)= -x² +1 = g(-x) = -(-x)²+1 para todo o x .
   9. g, sendo uma função par, não é injectiva.
   Como pode explicar em termos do gráfico que se trata duma função não sobrejectiva?