Função Módulo e Parábola

Noções básicas

3. i) Considere-se a função real de variável real
   
   
   conhecida por função módulo. Neste caso, o contradomínio CD_f é um subconjunto do conjunto de chegada , uma vez que o conjunto das imagens é constituído apenas pelos números reais não-negativos. Deste modo, a função módulo não é sobrejectiva.
   Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (-1,1), , , por exemplo.
   A sua representação gráfica encontra-se na Fig.5.
   
   

   Fig. 5. Gráfico da função módulo
   Observe que:
   1. f tem um único zero: x = 0;
   2. f é positiva em ;
   3. f nunca é negativa;
   4. quanto à monotonia, f é:
   
   • monótona decrescente no intervalo , pois neste intervalo se x₁ < x₂, então |x₁| > |x₂|
   • monótona crescente no intervalo , pois neste intervalo se x₁ < x₂, então |x₁| < |x₂|;
   5. f tem um mínimo absoluto com valor 0 em x = 0, uma vez que f(0)=0 e f(x) ≥ 0 para todo o x D_f;
   6. o contradomínio de f é ;
   7. f é uma função par pois |x| = |-x| para cada x (note que o gráfico é simétrico relativamente ao eixo vertical);
   8. f é uma função par logo não é injectiva (justifique esta implicação).
   
   ii) Considere-se a função real de variável real
   
   
   Trata-se de uma função quadrática (pode recordar propriedades das funções quadráticas no módulo Propriedades de algumas funções). A representação gráfica de g encontra-se na Fig. 6.
   
   

   Fig. 6. Gráfico da função g
   Observe que:
   1. g tem dois zeros: x = -1 e x = 1;
   2. g é positiva em ] – 1, 1[;
   3. g é negativa em e em ;
   4. g é monótona crescente no intervalo e monótona decrescente no intervalo ;
   5. g tem um máximo absoluto com valor 1 em x = 0;
   6. g tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio;
   7. o contradomínio de g é ;
   8. g é uma função par porque g(x)= -x² +1 = g(-x) = -(-x)²+1 para todo o x .
   9. g, sendo uma função par, não é injectiva.
   Como pode explicar em termos do gráfico que se trata duma função não sobrejectiva?

Representação gráfica de função real de variável real

Noções básicas

2. Considerem-se as figuras de Fig. 4a a Fig. 4f. Observe que as curvas representadas nas figuras Fig. 4a, Fig. 4d e Fig. 4f correspondem a representações gráficas de funções reais de variável x real. Por seu lado, as curvas representadas nas figuras Fig. 4b, Fig. 4c e Fig. 4e não correspondem a representações gráficas de funções reais de variável x real.
   
   
   

   Fig. 4a

   
   

   Fig. 4b
   
   

   Fig. 4c

   
   

   Fig. 4d
   
   

   Fig. 4e

   
   

   Fig. 4f

Domínio e Contradomínio de uma Função

Noções básicas

1. Seja
   
   
   a correspondência que a cada natural x faz corresponder o natural x . Trata-se duma correspondência unívoca nos naturais, logo temos uma função. Esta função é conhecida como função identidade nos naturais. Neste caso, o domínio D_f é o conjunto dos naturais e o contradomínio CD_f coincide com o conjunto de chegada , isto é
   
   
   Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (2,2), (5,5), por exemplo. Em geral, escrevemos para o gráfico
   
   
   cuja representação gráfica (conjunto de pontos discretos) se vê na Fig. 1.
   
   

   Fig. 1. Representação gráfica da função f
   Observe-se que é possível efectuar um teste simples à representação gráfica para determinar se se trata da representação gráfica duma função (teste do gráfico): se qualquer recta vertical intersectar o gráfico em, no máximo, um ponto, pode concluir-se que se trata da representação gráfica duma função.
   Se se considerar
   
   
   a correspondência que a cada real x associa o real x também se obtém uma função, que é conhecida como função identidade nos reais. Observe que neste caso, o domínio D_g é o conjunto dos números reais, bem como o contradomínio CD_g, e por isso . A representação gráfica desta função pode ver-se na Fig. 2.
   
   

   Fig. 2. Representação gráfica da função g
   Vamos considerar a correspondência h que a cada x associa e . Trata-se duma correspondência que não é unívoca. Por exemplo, temos que a x = 1 corresponde o valor 1, mas também o valor -1, logo não temos uma função. Conforme se pode ver na Fig.3, a curva representada não é o gráfico duma função (observe que falha o teste do gráfico).
   
   

   Fig. 3. Representação gráfica da correspondência h

Composição de Funções

Noções básicas

12 Composição de funções

Sejam f e g funções reais de variável real. A função composta de g com f é a função real de variável real que se designa por e é tal que

• 
• .

As funções f e g dizem-se permutáveis se .

Fig. 8. Diagrama de Venn de f e g (setas a preto) e da composição (setas as cor de laranja)

Veja os Exemplos 6 e 9 sobre composição de funções.

13 Extensão e restrição de função

Seja f uma função real de variável real.

• Uma extensão, ou prolongamento, de f a um conjunto tal que é uma função real de variável real g tal que
  –
  – g(x) = f(x) para cada .
  Note que se existem muitas extensões de f a C, pois o valor de g(x) quando pode ser um qualquer valor real.
• A restrição de f a um conjunto é a função real de variável real g tal que
  –
  – g(x) = f(x) para cada .
  É frequente usar a notação para representar a restrição da função f ao conjunto C.
  Veja no Exemplo 5 um exemplo sobre restrição de funções.